ارتقای تصویر در حوزه فرکانسی با استفاده تبدیل فوریه تصویر انجام می گیرد. روش کلی ارتقای تصویر در حوزه فرکانسی بدین صورت است :

1.        ابتدا تبدیل فوریه تصویر را محاسبه می کنیم ( شیفت دادن مرکز فرکانس در همین قسمت انجام می پذیرد )

2.        فیلتر مورد نظر را بر روی تبدیل فوریه اعمال می کنیم

3.        تبدیل فوریه معکوس تصویر را محاسبه کرده و تصویر فیلتر شده را به دست می آوریم ( شیفت دادن دوباره مرکز فرکانس در همین قسمت انجام می پذیرد )

تبدیل فوریه تصویر دیجیتالی به طور کامل در کتاب Digital Image Processing آقای Rafel C. Gonzalez و Richard E. Woods  شرح داده شده است.

در حالت کلی در تصویر دو نوع پیکسل وجود دارد ، پیکسل های آرام و پیکسل های تیز . پیکسل های آرام پیکسل هایی هستند که اختلاف شدت روشنایی آن ها با شدت روشنایی پیکسل های همسایه شان کم است. در مقابل پیکسل های تیز ، پیکسل هایی هستند که اختلاف شدت روشنایی آن ها با شدت روشتایی پیکسل های همسایه شان زیاد است ( مانند لبه ها و نویز ها ) .

به عنوان مثال در تصویر زیر پیکسل های قرار گرفته در محیط مستطیل ، پیکسل های تیز و بقیه پیکسل های آرام هستند.

در شکل حاصل از تبدیل فوریه تصویر دو نکته وجود دارد :

1.        هرچه به مرکز تبدیل فوریه نرزدیک می شویم ، پیکس های آرام تر می شوند

2.        پیکس های تیز در کناره های تبدیل فوریه قرار می گیرند.

از نکات فوق می توان چنین نتیجه گرفت که دستکاری پیکسل های مرکزی تبدیل فوریه همانند دستکاری پیکسل های آرام تصویر ، و تغییر دادن پیکسل های کناری تبدیل فوریه مشابه دستکاری پیکسل های تیز تصویر می باشد. دو نکته مطرح شده ، هنگام طراحی فیلتر ها بسیار استفاده می شوند.

به عنوان مثال به شکل زیر و تبدیل فوریه آن توجه کنید :

حال مقدار پیکسل مرکزی تبدیل فوریه را به 0 ضرب می کنیم و تبدیل فوریه معکوس ان را محاسبه می کنیم :

تصویر نویز دار زیر را در نظر بگیرید :

تبدیل فوریه این تصویر به صورت زیر است :

همانطور که مشاهده می کنید ، در تبدیل فوریه تصویر نویز دار به علت اینکه هر نویز یک پیکسل تیز می باشد ، بنابراین کناره های تبدیل فوریه به صورت دانه های سفید رنگ نمایش می یابند.

فیلترهای حوزه فرکانسی نیز بر روی تبدیل فوریه تصویر اعمال می شوند. همانند حوزه مکانی، فیلترهای حوزه فرکانسی نیز به دو قسمت بالاگذر و پایین گذر تقسیم می شوند. روش کلی اعمال فیلتر در حوزه فرکانسی به صورت زیر است

تبدیل فوریه تصویر محاسبه شده و به مرکز تصویر شیفت داده می شود

فیلتر حوزه فرکانسی با تبدیل فوریه تابع ضرب شده و مقدار جدیدی را تولید می شود

از مقدار تولید شده در مرحله 2 ، تبدیل فوریه معکوس گرفته و نصویر حاصل از اعمال فیلتر به دست می آید.

به عنوان مثال شکل زیر نتیجه اعمال فیلتر پایین گذر و بالاگذر گاوسین در حوزه فرکانسی را نشان می دهد

فیلترهای حوزه فرکانسی

تصویر حاصل از اعمال فیلتر حوزه فرکانسی بر روی تصویر ورودی از فرمول زیر به دست می آید :

G( x , y ) = H( u , v ) * F ( u , v )

که در این فرمول G تبدیل فوریه تصویر خروجی ، H فیلتر اعمالی بر روی تصویر و F تبدیل فوریه تصویر ورودی است. بنابراین با محاسبه تبدیل فوریه معکوس G ، تصویر خروجی به دست می آید.

در حالت کلی فیلترهای مورد استفاده در حوزه فرکانسی به دو دسته تقسیم می شوند:

1. فیلترهای بالا گذر
2. فیلترهای پایین گذر

فیلتر های پایین گذر فیلترهایی هستند که پیکسل های با فرکانس پایین را نادیده گرفته و پیکسل های با فرکانس بالا را تغییر می دهند. در مقابل فیلتر های بالا گذر فیلترهایی هستند که پیکسل های با فرکانس بالا را نادیده گرفته و پیکسل های با فرکانس پایین را دستکاری می کنند.

لازم به ذکر است که پیکسل های با فرکانس پایین ، پیکسل های آرام تصویر اصلی را تشکیل می دهند. پیکسل های با فرکانس بالا نیز پیکسل های تیز تصویر اصلی را تشکیل می دهدد. پیکسل های آرام پیکسل هایی هستند که اختلاف شدت روشنایی آن ها با پیکسل های همسایه شان ناچیز است ولی پیکسل های تییز پیکسل هایی هستند که اختلاف شدت روشنایی آن ها با پیکسل های همسایه شان زیاد است. لبه ها و نویزهای تصویر نمونه ای از پیکسل های تیز هستند.

در تبدیل فوریه تصویر دیجیتالی ، پیکسل های با فرکانس پایین در مرکز تبدیل فوریه و پیکسل های با فرکانس بالا در کناره های تبدیل فوریه ظاهر می شوند. فیلتر های پایین گذر و بالا گذر بر روی تبدیل فوریه تصویر دیجیتالی اعمال می شوند .

سه نوع فیلتر پایه برای حوزه فرکانسی تعریف شده است که این فیلترها به شرح زیر هستند:

• فیلتر ایده آل
• فیلتر بوترورث
• فیلتر گاوسین

بخش های بعدی فیلترهای پایین گذر و بالاگذر این سه فیلتر پایه ای را شرح می دهند.

توجه :

درهمه فرمول هایی که ارائه خواهند شد منظور از D( x, y ) فاصله نقطه ( x , y ) در تبدیل فوریه از مرکز تبدیل فوریه است. در صورتی که اندازه تصویر M * N باشد ، مرکز تبدیل فوریه نقطه ( M/2 , N/2 ) خواهد بود. فاصله نقطه ( x , y ) از نقطه ( M/2 , N/2 ) با استفاده از فرمول زیر به دست می آید :

D( x , y ) = SQRT( (x – M/2)^2  +  ( y – N/2 )^2  )

 ^ علامت توان است.

فیلترهای پایین گذر :

فیلترهای پایین گذری که بررسی خواهیم کرد به شرح زیر هستند :

• فیلتر پایین گذر ایده آل
• فیلتر پایین گذر بوترورث
• فیلتر پایین گذر گاوسین

فیلتر پایین گذر ایده آل :

در این فرمول D( u,v ) فاصله پیکسل از مرکز تصویر است و D0 نیز کمیت عددی مثبتی است که اندازه فیلتر را تعیین می کند.

همانطور که از فرمول پیداست ، در یک محدوده دایره ای شکل به شعاع D0 مقادیر داخل دایره بدون تغییر باقی خواهند ماند ( به 1 ضرب می شوند ) و مقادیر خارج دایره 0 خواهند شد ( به صفر ضرب خواهند شد ).

می دانیم که در بسط فوریه تصویر هرچه به مرکز تصویر نزدیک می شویم از شدت فرکانس پیکسل ها کاسته می شود. همچنین می دانیم پیکسل های فرکانس پایین پیکسل های آرام تصویر را تشکیل می دهند. بنابراین می توان نتیجه گرفت که با اعمال فیلتر پایین گذر ایده آل بر روی بسط فوریه تصویر و با توجه به شعاعی فیلتر ، مقادیر پیکسل های آرام بدون تغییر باقی خواهند ماند ، در حالی که مقادیر پیکسل های تیز تصویر به صفر ضرب خواهند شد.

نمونه ای از خروجی تصویر پس از اعمال فیلتر پایین گذر ایده آل به صورت زیر است :

فیلتر پایین گذر بوترورث :

فیلتر بوترورث مرتبه n با استفاده از رابطه زیر تعریف می شود :

در این فرمول D( u,v ) فاصله پیکسل از مرکز تصویر است و D0 نیز کمیت عددی مثبتی است که میزان فیلتر را تعیین می کند.

خروجی تصویر بعد از اعمال فیلتر پایین گذر بوترورث می تواند به صورت زیر باشد :

فیلتر پایین گذر گاوسین :

فیلتر گاوسین در فضای دو بعدی به صورت زیر تعریف می شود :

 علامت توان است و در این فرمول D( u,v ) فاصله پیکسل از مرکز تصویر است و D0 نیز کمیت عددی مثبتی است که میزان فیلتر را تعیین می کند.

خروجی تصویر بعد از اعمال فیلتر پایین گذر گاوسین می تواند به صورت زیر باشد :

فیلترهای بالا گذر :

فیلترهای بالا گذری که بررسی خواهیم کرد به شرح زیر هستند :

• فیلتر بالا گذر ایده آل
• فیلتر بالا گذر بوترورث
• فیلتر بالا گذر گاوسین

فیلتر بالا گذر ایده آل :

در این فرمول D( u,v ) فاصله پیکسل از مرکز تصویر است و D0 نیز کمیت عددی مثبتی است که اندازه فیلتر را تعیین می کند.

همانطور که از فرمول پیداست ، در یک محدوده دایره ای شکل به شعاع D0 مقادیر خارج دایره بدون تغییر باقی خواهند ماند ( به 1 ضرب می شوند ) و مقادیر داخل دایره 0 خواهند شد ( به صفر ضرب می شوند ).

می دانیم که در بسط فوریه تصویر هرچه به مرکز تصویر نزدیک می شویم از شدت فرکانس پیکسل ها کاسته می شود. همچنین می دانیم پیکسل های فرکانس پایین پیکسل های آرام تصویر را تشکیل می دهند. بنابراین می توان نتیجه گرفت که با اعمال فیلتر پایین گذر ایده آل بر روی بسط فوریه تصویر و با توجه به شعاعی فیلتر ، مقادیر پیکسل های آرام بدون تغییر باقی خواهند ماند ، در حالی که مقادیر پیکسل های تیز تصویر به صفر ضرب خواهند شد.

نمونه ای از خروجی تصویر پس از اعمال فیلتر بالا گذر ایده آل به صورت زیر است :

فیلتر بالا گذر بوترورث :

فیلتر بوترورث مرتبه n با استفاده از رابطه زیر تعریف می شود :

در این فرمول D( u,v ) فاصله پیکسل از مرکز تصویر است و D0 نیز کمیت عددی مثبتی است که میزان فیلتر را تعیین می کند.

خروجی تصویر بعد از اعمال فیلتر بالا گذر بوترورث می تواند به صورت زیر باشد :

فیلتر بالا گذر گاوسین :

فیلتر گاوسین در فضای دو بعدی به صورت زیر تعریف می شود :

^  علامت توان است و در این فرمول D( u,v ) فاصله پیکسل از مرکز تصویر است و D0 نیز کمیت عددی مثبتی است که میزان فیلتر را تعیین می کند.

خروجی تصویر بعد از اعمال فیلتر بالا گذر گاوسین می تواند به صورت زیر باشد :